Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解答：证明：（1）∵OD⊥AC   OD为半径，
∴=，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．