Question

设抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，且与y轴相交于点M．
（1）求b和c（用含a的代数式表示）；
（2）在抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上，试判断直线AC和x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，2），B（2，-1）两点分别代入抛物线y=ax²+bx+c，即可用a表示出b、c的值．
（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入抛物线y=ax²-bx+c-1，即可求出符合条件的点的坐标．
（3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其解析式，根据其解析式可求出函数图象与y轴的交点坐标，根据其纵坐标于A点纵坐标的关系即可判断出直线AC与x轴的关系．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，2），B（2，-1）两点，
∴

a-b+c=2 4a+2b+c=-1

，
解得

b=-a-1 c=1-2a

．
（2）由（1）得，抛物线y=ax²-bx+c-1的解析式是y=ax²+（a+1）x-2a=x，
即ax²+ax-2a=0，
∵a是抛物线解析式的二次项系数，
∴a≠0，
∴方程的解是x₁=1，x₂=-2，
∴抛物线y=ax²-bx+c-1满足条件的点的坐标是P₁（1，1），P₂（-2，-2）．
（3）由（1）得抛物线y=ax²+bx+c的解析式是y=ax²-（a+1）x+1-2a，
①当P₁（1，1）在抛物线C₁上时，有a-（a+1）+1-2a=1，
解得a=-

1

2

，这时抛物线y=ax²+bx+c的解析式是y=-

1

2

x²-

1

2

x+2，它与y轴的交点是C（0，2）
∵点A（-1，2），C（0，2）两点的纵坐标相等，
∴直线AC平行于x轴．
②当P₂（-2，-2）在抛物线C₁上时，由4a+2（a+1）+1-2a=-2，
解得a=-

5

4

，这时抛物线的解析式为y=-

5

4

x²+

1

4

x+

7

2

，它与y轴的交点是C（0，

7

2

）显然A、C两点的纵坐标不相等，
∴直线AC与x轴相交，
综上所述，当P₁（1，1）在抛物线C₁上时，直线AC平行x轴；当P₂（-2，-2）在抛物线y=ax²+bx+c上时，直线AC与x轴相交．

点评：此题考查了用代入法求函数解析式，抛物线上点的坐标特征．第（3）小题要将（2）中所求点代入解析式进行分类讨论．