Question

11．已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径是a，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 作△PAD的外接圆，先证明△ABP≌△DCP，得出∠APD=150°和AP=PD，由垂径定理得：E是AD的中点，OP⊥AD，所以∠AOE=30°，则AE=$\frac{1}{2}$AO，从而得出正方形ABCD的边长为a．

解答 解：如图，作△PAD的外接圆⊙O，连接OA、OP，交AD于E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，
∵△PBC是等边三角形，
∴BP=CP=BC=AB=CD，∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABP=∠PCD=30°，
∴△ABP≌△DCP，
∴AP=PD，∠APB=∠CPD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠APD=360°-75°-75°-60°=150°，
在⊙O中，∵AP=PC，
∴E是AD的中点，
∴OP⊥AD，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APD=75，
∵OA=OP，
∴∠AOE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AO，
∵AO=a，
∴AE=$\frac{1}{2}$a，
∴AD=a，
∴正方形ABCD的边长为a．

点评 本题考查了三角形的外接圆、等边三角形及正方形的性质，利用了等边三角形的三边相等，三个角都是60°，并与正方形的边长相等和四个角都是直角相结合，依次求出各角的度数；根据垂径定理构建出30°的直角三角形，从而得出外接圆半径与正方形边长的关系，最后得出结论．