Question

如图，AB是直径，CA切⊙O于点A，连接BC交⊙O点D，E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC=CF；
（2）FE=2，AF=4，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BE，若要证明AC=CF，则只要证明∠CAE=∠EFB=∠AFC即可；
（2）易证△BEF∽△ABE，根据相似三角形的性质可知求出BE的长，进而得到tan∠EFB=

EF

BE

=

3

，所以∠EFB=60°，从而证明△ACF是等边三角形，所以AC=AF=4．

解答：（1）证明：连接BE，
∵CA是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵E是弧BD的中点，
∴弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE，
∴∠CAE=∠EFB=∠AFC，
∴AC=CF；
（2）解：∵弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE
∵∠E=∠E，
∴△BEF∽△ABE，
∴

BE

AE

=

EF

BE

∴BE²=EF•AE，
∴BE=2

3

，
∴tan∠EFB=

EF

BE

=

3

，
∴∠EFB=60°，
∵AC=CF，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC=AF=4．

点评：本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．