Question

20．若双曲线y=$\frac{k}{x}$与边长为5的等边△A0B的边0A，AB分别相交于C，D两点，且DC垂直于AO，求实数k的值．

Answer 1

分析 过C点作CE⊥OB于点E，过D点作DF⊥OB于点F，设BD=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出BF与DF，进而表示出AD与OE，表示出AC与OC的长，得出OE与CE的长，表示出C与D坐标，根据C与D都在反比例函数的图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出实数k的值．

解答 解：过C点作CE⊥OB于点E，过D点作DF⊥OB于点F，设BD=x．
∵△AOB是边长为5的等边三角形，
∴AB=OA=OB=5，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
∴BF=DB•cos∠DBF=$\frac{1}{2}$x，DF=DB•sin∠DBF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD=5-x，OF=OB-BF=5-$\frac{1}{2}$x，
∵DC⊥AO，
∴AC=AD•cosA=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$x，
∴OC=OA-AC=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴OE=OC•cos∠AOB=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，CE=OC•sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴C（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），D（5-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∵C、D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$）（$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）=（5-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x₁=1，x₂=5（舍去），
∴k=（5-$\frac{1}{2}$×1）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等边三角形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，设DB=x，用含x的代数式表示出C与D点的坐标是解题的关键．