Question

已知a≠0，并且关于x的方程ax²-bx-a+3=0①至多有一个解．试问：关于x的方程（b-3）x²+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解？并证明你的结论．

Answer 1

分析：由于关于x的方程ax²-bx-a+3=0①至多有一个解，a≠0，由此得到判别式是非负数，由此得到a、b的取值范围，然后根据a、b的取值范围讨论x的方程（b-3）x²+（a-2b）x+3a+3=0②是否一定有解．

解答：解：由题意知，方程①的判别式△₁=b²+4a（a-3）≤0，
∴b²+（2a-3）²≤9，
∴-3≤b≤3，-3≤2a-3≤3，
∴b-3≤0，0≤a≤3．
当b-3=0时，方程②化为-

9

2

x+

15

2

=0，有解．
当b-3＜0时，方程②的判别式△₂=（a-2b）²-12（a+1）（b-3）＞0，
此时也有解．
综上所述，方程②一定有解．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式与根的关系，首先通过方程①的判别式得到a、b的取值范围，然后利用a、b的取值范围讨论方程②的判别式的情况，由此即可解决问题．