Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1，0），C（0，2）且tan∠ABC=$\frac{1}{2}$；
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使△BCP的面积最大，如存在，求出P点坐标和最大面积S．

Answer 1

分析 （1）先利用三角函数求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）由（1）求出点A，C，D的坐标，根据两点间的距离公式求出AC，AD，CD，从而判断出△ACD的形状；
（3）先判断出△BCP的面积最大时，点P的位置，即可．

解答 解：（1）∵C（0，2），
∴OC=2，
∵tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=4，
∴B（4，0），
∵A（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
∵点C（0，2）在抛物线上，
∴2=a×1×（-4），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
（2）由（2）知，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），
∴对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
∵A（-1，0），C（0，2），
∴AD=$\frac{5}{2}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{（{\frac{3}{2}）}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴AD=CD≠AC，
∴△ACD是等腰三角形，
（3）如图，

由（2）有，B（4，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
作PM∥BC交抛物线于P交y轴M，作CH⊥PM，
∴设直线PM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵在第一象限的抛物线上存在一点P，使△BCP的面积最大，
∴直线PM与抛物线只有一个交点，
联立y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴-$\frac{1}{2}$x+b=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴x²-4x+2b-4=0，
∴△=16-4（2b-4）=0，
∴b=4，
∴x=2，y=3，
∴P（2，3）；
∴直线PM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴M（0，4），
∵CH⊥PM，C（0，2），
∴直线CH解析式为y=2x+2，
直线CH和直线PM交点坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{18}{5}$），
∴CH=$\sqrt{（{\frac{4}{5}）}^{2}+（\frac{18}{5}-2）^{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴S最大=$\frac{1}{2}$×AC×CH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{4}{5}\sqrt{5}$=$\frac{2}{5}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，勾股定理，两点间的距离公式，解本题的关键是确定出△BCP的面积时，平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点，也是难点．