Question

4．如图，平面直角坐标系（单位：cm）中，B（5，4），D（-3，0），过B作BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿D→C方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P，点Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示：BP=（5-t）cm，CQ=（8-2t）cm，当t=3秒时，四边形PQCB为矩形．
（2）在点P运动过程中，函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于M点，设△POM的面积为S（cm²），请写出S关于t的函数关系式．
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使坐标平面上存在点R，以P、Q、C、R为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值及对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得出AP=tcm，AB=5cm，即可得出BP；由DC=8，DQ=2t，即可得出CQ；当BP=CQ时，四边形PQCB是矩形，得出方程，解方程即可求出t的值；
（2）由点P坐标得出k=4t，得出BM，连接PO、PM、OM，△POM的面积=矩形AOCB的面积-△AOP的面积-△PBM的面积-△OCM的面积，即可得出结果；
（3）由勾股定理得出PQ²=（t-3）²+4²，PC²=（t-5）²+4²，CQ²=（8-2t）²，分情况讨论：①当PQ=PC时；②当PQ=CQ时；③当PC=CQ时；分别解方程求出t的值，再求出AR即可得出点R的坐标．

解答 解：（1）根据题意得：AP=tcm，AB=5cm，
∴BP=（5-t）cm，
故答案为：（5-t）；
∵DC=DO+OC=3+5=8，DQ=2tcm，
∴CQ=DC-DQ=（8-2t）cm，
故答案为：（8-2t）；
当BP=CQ时，四边形PQCB是矩形，
∴5-t=8-2t，
解得：t=3，
∴当t=3秒时，四边形PQCB为矩形；
故答案为：3；
（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，
∴k=4t，
∴y=$\frac{4t}{x}$，
∴点M的坐标为（5，$\frac{4t}{5}$），
∴BM=4-$\frac{4t}{5}$，
连接PM，如图1所示：
∴△POM的面积S=矩形AOCB的面积-△AOP的面积-△PBM的面积-△OCM的面积
=5×4-$\frac{1}{2}$×t×4-$\frac{1}{2}$×（5-t）×（4-$\frac{4t}{5}$）-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2}{5}$t²+10，
∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，
∴0≤t≤4，
∴S=-$\frac{2}{5}$t²+10（0≤t≤4）；
（3）存在；t的值为$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-2\sqrt{13}}{3}$，点R的坐标为（$\frac{11+2\sqrt{13}}{3}$，4），或（3-2$\sqrt{13}$，4）；理由如下：
∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（3t-3），点C的坐标为（5，0），
∴PQ²=（t-3）²+4²，PC²=（t-5）²+4²，CQ²=（8-2t）²；
分情况讨论：
①当PQ=PC时，（t-3）²+4²=（t-5）²+4²，
解得：t=4（不合题意，舍去）；
②当PQ=CQ时，（t-3）²+4²=（8-2t）²，
解得：t=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$，或t=$\frac{13+2\sqrt{13}}{3}$（不合题意，舍去），
∴t=$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$；
若四边形PQCR为菱形，
则PR∥CQ，点R在直线AB上，如图2所示：
∴AR=AP+PR=t+8-2t=8-t=8-$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$=$\frac{11+2\sqrt{13}}{3}$，
此时点R的坐标为（$\frac{11+2\sqrt{13}}{3}$，4）；
③当PC=CQ时，（t-5）²+4²=（8-2t）²，
解得：t=$\frac{11-2\sqrt{13}}{3}$，或t=$\frac{11+2\sqrt{13}}{3}$（不合题意，舍去），
∴t=$\frac{11-2\sqrt{13}}{3}$；
若四边形PQCR为菱形，
则PR∥CQ，点R在直线AB上，如图3所示：
∴AR=PR-AP=8-2t-t=8-3t=-3+2$\sqrt{13}$，
此时点R的坐标为（3-2$\sqrt{13}$，4）；
综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点R，以P、Q、C、R为顶点的四边形刚好是菱形，
t的值为$\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-2\sqrt{13}}{3}$，点R的坐标为（$\frac{11+2\sqrt{13}}{3}$，4），或（3-2$\sqrt{13}$，4）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、反比例函数解析式的运用、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．