Question

15．如图，AB=2a，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着点A向点B的方向移动（不与点A、B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积为（　　）

• A． a²
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$a²
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$a²
• D． 不能确定

Answer 1

分析 利用等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°、解Rt△DMC、Rt△ENC分别求得DM、DN与线段AC、BC的数量关系．然后根据梯形的面积公式来求四边形DMNE面积．

解答 解：∵△ADC是等边三角形，DM是△ADC的高，
∴DC=AC，∠DCM=60°，∠DMC=90°，
∴DM=CD•sin∠DCM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，CM=$\frac{1}{2}$AC．
同理，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴S_梯形DMNE=$\frac{DM+EN}{2}$•MN=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AC+\frac{\sqrt{3}}{2}BC}{2}$•（$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB×$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{8}$×（2a）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$．
故选B．

点评 本题考查了等边三角形的性质，梯形的面积的计算．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．