Question

已知x，y都是实数，且

8-2(x+3)

与（2y-4）²互为相反数，
①求x，y的值，并写出以x，y为边的等腰三角形的周长；
②求

1

xy

+

1

(x+1)(y+1)

+

1

(x+2)(y+2)

+…+

1

(x+2005)(y+2005)

的值．

Answer 1

分析：①先根据互为相反数的两个数的和为0，得

8-2(x+3)

+（2y-4）²=0，再根据非负数的意义，列方程组求出x、y的值；然后由等腰三角形的性质求出其周长；
②先将x=1，y=2代入所求代数式，再根据

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

把每一个分数写成两个分数的差，然后化简即可．

解答：解：①依题意，得

8-2(x+3)

+（2y-4）²=0，
∴

8-2(x+3)=0 2y-4=0

，
解得

x=1 y=2

．
当腰长为1时，不满足三角形三边关系定理，故腰长为2，此时，周长=2+2+1=5；

②∵x=1，y=2，
∴原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）
=1-

1

2007

=

2006

2007

．

点评：本题考查了相反数的定义，非负数的性质，二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理及有理数的运算，涉及的知识点较多，难度中等．