Question

（2013•邯郸一模）如图，在菱形ABCD中，E，F为边BC、CD上的点，且CE=CF，连接AE，AF，∠ABC的平分线交AE于点G，连接CG．
（1）求证：AG=CG；
（2）求证：CG∥AF；
（3）若BG=CG，则△ABE与△BGE是否相似？若相似，写出证明过程；若不相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后利用“边角边”证明△ABG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接AC，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACE=∠ACF，然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠CAF，再根据等边对等角求出∠CAE=∠ACG，然后求出∠ACG=∠CAF，再根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠BAG=∠BCG，再根据等边对等角求出∠CBG=∠BCG，然后求出∠BAG=∠CBG，然后利用两组角对应相等，两三角形相似证明．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
在△ABG和△CBG中，

AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG

，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG；

（2）证明：连接AC，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACE=∠ACF，
在△ACE和△ACF中，

CE=CF ∠ACE=∠ACF AC=AC

，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴∠CAE=∠CAF，
由（1）知，AG=CG，
∴∠CAE=∠ACG，
∴∠ACG=∠CAF，
∴CG∥AF；

（3）△ABE∽△BGE．
理由如下：由（1）知，△ABG≌△CBG，
∴∠BAG=∠BCG，
∵BG=CG，
∴∠CBG=∠BCG，
∴∠BAG=∠CBG，
又∵∠AEB=∠BEG，
∴△ABE∽△BGE．

点评：本题是相似形综合题型，主要考查了菱形的四条边都相等，对角线平分一组对角的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，综合题，但难度不大，熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定方法是解题的关键．