Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

过点P，P点的坐标为（3-m，2m），m是分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

的解，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．
（1）试判断四边形PAOB的形状，并说明理由；

（2）连接AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连接OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明；

（3）若M为反比例函数y=

k

x

在第三象限内的一动点，过M作MN⊥x轴于交AB的延长线于点N，是否存在一点M使得四边形OMNB为等腰梯形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解出分式方程得到m的值，进而可判断出四边形PAOB的形状；
（2）应猜想相等，找这两条线段所在三角形全等的条件；
（3）易知∠BNM=45°，要想为等腰梯形，∠OMN=45°，那么点M的横纵坐标相等．代入反比例函数即可．

解答：解：（1）四边形PAOB是正方形．
理由如下：
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°
∴四边形PAOB是矩形（2分）
m-3+m-2=-3
解得：m=1
经检验知m=1是原分式方程的解
∴P（2，2）（3分）
∴PB=PA=2
∴四边形PAOB是正方形；（4分）

（2）OG=FG．
证明：延长FE交OA于点H，连接GH，
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°
∴BOHF是矩形
∴BF=OH
∵∠FBE=∠FEB=45°
∴EF=BF=OH（5分）
∵∠EHA=90°，G为AE的中点
∴GH=GE=GA（6分）
∴∠GEH=∠GAH=45°
∴∠GEF=∠GHO（7分）
∴△GEF≌△GHO
∴OG=FG；（8分）

（3）由题意知：∠BNM=45°（9分）
∵要让四边形OBNM为等腰梯形
∴∠BNM=∠NMO=45°（10分）
∴设M点的坐标为（x，x），代入y=

4

x

∴x=±2
∵M是y=

k

x

第三象限上一动点
∴x=-2
∴M点的坐标为（-2，-2）．（12分）

点评：证线段相等，通常是证明线段所在的三角形全等；等腰梯形同一底上的两个角是相等的；函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．