Question

15．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．O点在BC上，半圆O经过点C、D、E．
（1）说明：BE是半圆O的切线；
（2）若BD=3，求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，先计算出∠OEC=∠C=30°，则∠BOE=60°，再证明AE=CE，则∠EBC=∠C=30°，所以∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理可判断BE是半圆O的切线；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OBE中得到BO=2OE，则OD=BD=3，在Rt△DEC中可计算出DE=$\frac{1}{2}$CD=3，CE=$\sqrt{3}$DE=3$\sqrt{3}$，然后利用扇形面积公式，利用$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，图中阴影部分面积=扇形EOC面积-△OCE的面积进行计算．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠C=30°，
∴∠BOE=∠OEC+∠C=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴BE为AC边上的中线，
∴AE=CE，
∴∠EBC=∠C=30°，
∴∠BEO=180°-30°-60°=90°，
∴OE⊥BE，
∴BE是半圆O的切线；
（2）解：在Rt△OBE中，∵∠EBO=30°，
∴BO=2OE，即BD+OD=2OD，
∴OD=BD=3，
在Rt△DEC中，DE=$\frac{1}{2}$CD=3，CE=$\sqrt{3}$DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠EOD=60°，
∴∠COE=120°，
∴扇形EOC面积=$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$=3π，
△OCE的面积=$\frac{1}{2}$S_△CDE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴图中阴影部分面积=扇形EOC面积-△OCE的面积=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．注意把不规律图形的面积的计算问题化为规则图形面积的和差的计算问题．