Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是    的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连结AE，过点E作EF⊥AB于点F．

小题1:（1）求证：CE是⊙O的切线；
小题2:（2）若FB=2,  tan∠CAE=，求OF的长．

Answer 1

小题1:（1）证明：连结OE．       ……………………………… 1分
∵ 点E为  的中点，
∴ ∠1=∠2． 
∵ OE=OA，
∴ ∠3=∠2．
∴ ∠3=∠1．
∴ OE∥AC．
∵ AC⊥CE，
∴ OE⊥CE．      ………………………………………… 2分
∵ 点E在⊙O上，
∴ CE是⊙O的切线．
小题2:（2）解：连结EB．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AED=90°．
∵ EF⊥AB于点F，
∴ ∠AFE=∠EFB=90°．
∴ ∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°．
∴ ∠2=∠4=∠1．
∵ tan∠CAE=，
∴ tan∠4 =．
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2， tan∠4 =，
∴ EF=．   ……………………………………………………………… 4分
设 OE=x，则OB= x．
∵ FB=2，
∴ OF=x-2．
∵ 在Rt△OEF中，∠EFO=90°，
∴ x²=(x-2)²+()²．
∴ x=3（负值舍去）．
∴ OF=1．

略