Question

如图，在?ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四条边相等的四边形是菱形即可证明．
（2）利用梯形的面积等于对角线的一半直接求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AO=OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4=∠3，
∴AF=AE，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF是菱形． 
（2）∵AC⊥CD，AC⊥EF
∴EF∥CD
∴EF=AB=6
∵BC=10，
∴由勾股定理得：AC=8，
∴四边形AECF的面积为：

1

2

AC•EF=

1

2

×6×8=24；

点评：本题主要考查了菱形的判定和垂直平分线的性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．