Question

如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，AB=2，AD=4，EG=2．
求证：∠A=60°．

Answer 1

证明：∵E为BC的中点，
∴OE⊥BC于F．
∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°．
连接OD，则OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．
∵∠AGD=∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE=90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
∵AD=4，AB=2，AD²=AB•AC；
∴AC=8．
∵AD=AG，
∴BG=2，CG=4．
∵EG=2，EG•GD=BG•CG，
∴DG=4，
∴AD=DG=AG，△ADG为等边三角形．
∴∠A=60°．
分析：先证AD是⊙O的切线，连接OD，通过证∠ADO=90°即可；然后通过切割线定理证明AD=DG=GA，继而得出∠A=60°．
点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．