Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于点R，且RP=RQ
（1）求证：直线QR是⊙O的切线；
（2）若OP=PA=1，试求RQ的长．

Answer 1

分析：（1）要证明直线QR是⊙O的切线，证明OQ⊥RQ即可；
（2）在Rt△OQR中，根据勾股定理解直角三角形即可求出RQ的长．

解答：证明：（1）连接OQ；

∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，即OQ⊥QR，
直线QR是⊙O的切线．

（2）设AR的长为x，则PR=RQ=x+1；
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
则（x+2）²=（x+1）²+2²，
解之得，x=

1

2

，
∴QR=x+1=

3

2

．

点评：熟练掌握切线的判定，会运用勾股定理求解一些简单的直角三角形．