Question

4．如图1，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=k₁x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为（-4，-2）；由此得到：OA=OB（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）请你利用（1）的结论解决以下问题；
①如图2，过原点O作另一条直线y=k₂x（k₁≠k₂），交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，求证：四边形APBQ一定是平行四边形；
②如图3，当k=12，k₁=$\frac{3}{4}$，k₂=$\frac{4}{3}$时，判定四边形APBQ的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用A点坐标可分别求得双曲线和直线的解析式，联立两函数解析式则可求得B点坐标，从而可求得OA和OB的长，可求得答案；
（2）①联立双曲线和直线PQ的解析式，可表示出P、Q的坐标，可求得OP=OQ，则可证得结论；②由双曲线和两直线解析式可分别求得A、B、P、Q的坐标，可求得OA=OB、OP=OQ，则可证得四边形APBQ为平行四边形．

解答 解：
（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与直线y=k₁x交于A，B两点，且A（4，2），
∴2=$\frac{k}{4}$，2=4k₁，解得k=8，k₁=$\frac{1}{2}$，
∴双曲线解析式为y=$\frac{8}{x}$，直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-4，-2），
∴A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
故答案为：（-4，-2）；=；
（2）①联立双曲线与直线PQ解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y={k}_{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}}\\{y=\sqrt{k{k}_{2}}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}}\\{y=-\sqrt{k{k}_{2}}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}$，$\sqrt{k{k}_{2}}$），Q（-$\frac{\sqrt{k{k}_{2}}}{{k}_{2}}$，-$\sqrt{k{k}_{2}}$），即P、Q关于原点对称，
∴OP=OQ，
由（1）可得OA=OB，
∴四边形APBQ一定是平行四边形；
②四边形APBQ为矩形．，理由如下：
当k=12，k₁=$\frac{3}{4}$，k₂=$\frac{4}{3}$时，
双曲线解析式为y=$\frac{12}{x}$，直线AB解析式为y=$\frac{3}{4}$x，直线PQ解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
联立双曲线和直线AB解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3），B（-4，-3），
∴OA=OB=5，
同理可求得P（3，4），Q（-3，-4），
∴OP=OQ=5，
∴OA=OB=OP=OQ，
∴四边形APBQ为矩形．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、待定系数法、中心对称的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等知识．在（1）中求得双曲线与直线AB的解析式是解题的关键，在（2）①中表示出P、Q的坐标是解题的关键，在（2）②中求得A、B、P、Q的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．