Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接EA．
（1）判断EA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
（2）当EC=6，CF=4，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，则∠OCE=90°，由D为中点可知EO⊥AC，则有CE=AE，可得∠ECA=∠EAC，且∠OCA=∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO=90°，可知EA为切线；
（2）连接BC，可证明△FBC∽△FCA，再由切线长定理可知CE=AE，在Rt△AEF中可求得AF=8，再利用线段的比可求得AB的长，可得半径．

解答：解：（1）EA为⊙O的切线，证明如下：
如图，连接OC，
∵EF为切线，
∴∠OCE=90°，
∵D为AC中点，
∴OE⊥AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=90°，
即∠EAO=90°，
∴EA为⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵EF为切线，
∴∠BCF+∠BCO=90°，且∠BCO=∠CBA，
∴∠BCF=∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴

CF

AF

=

BF

CF

，
由（1）知EA为⊙O切线，则EA=EC=6，EF=EC+FC=10，
在Rt△AEF中，可求得AF=8，
∴

4

8

=

BF

4

，解得BF=2，
∴AB=AF-BF=6，
∴⊙O的半径为3．

点评：本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定和性质，在（2）中利用相似求得BF的长是解题的关键．