Question

已知：
（1）a＞0
（2）当-1≤x≤1时，满足|ax²+bx+c|≤1；
（3）当-1≤x≤1时，ax+b有最大值2．
求常数a、b、c．

Answer 1

解：当a＞0时，ax+b的值随着x取值的增大而增大，
所以x=1时，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2
令x=0，则|c|≤1，即：-1≤c≤1
令x=1，则|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1，
所以-3≤c≤-1
故c=-1．
令y=ax²+bx+c，则抛物线y=ax²+bx+c必过（0，-1）
因为当-1≤x≤1时，-1≤ax²+bx+c≤1，所以该二次函数的最小值是-1，
∴
∴4ac-b²=-4a
∵c=-1
-4a-b²=-4a
∴b=0
∴a=2
所以a=2，b=0，c=-1．
分析：由已知：a＞0，ax+b有最大值2，就知道ax+b是一个升函数，当-1≤x≤1时，ax+b有最大值2，就可以求出a+b的值为2，然后根据当-1≤x≤1时，满足|ax²+bx+c|≤1，就可以求出c的值，最后根据x的范围确定二次函数的最小值为-1，这样由二次函数的顶点坐标公式就可以求出b值，从而求出常数a、b、c的值．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了一次函数的图象特征，用不等式组求解的特殊方法的运用以及二次函数的顶点公式的运用．