Question

2．已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，点M为直线BC上任意一点，过点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN=BM，连接DN
（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC=∠DNB；
（2）若M、N分别在BC、CB的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？

Answer 1

分析 （1）作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O．首先证明△ACM≌△CBG，推出CM=BG，∠AMC=∠G，再证明△DBN≌△DBG，推出∠G=∠BND，推出∠AMC=∠DNB；
（2）（1）中结论仍然成立．证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O．

∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC=∠CBG=∠ACM=90°，
∴∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCG=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
∵AC=BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM=BG，∠AMC=∠G，
∵CN=BM，
∴CM=BN=BG，
∵BD=BD，∠DBN=∠DBG=45°，
∴△DBN≌△DBG，
∴∠G=∠BND，
∴∠AMC=∠DNB；


（2）解：（1）中的结论成立．
理由：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD的延长线于O．

∵AM⊥CD，BG⊥BC，
∴∠AOC=∠CBG=∠ACM=90°，
∴∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCG=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
∵AC=BC，
∴△ACM≌△CBG，
∴CM=BG，∠M=∠G，
∵CN=BM，
∴CM=BN=BG，
∵BD=BD，∠DBN=∠DBG=45°，
∴△DBN≌△DBG，
∴∠G=∠N，
∴∠M=∠N；

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．