Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，AD是BC边上的高，则△ABD与△CAD的面积比为

 

．

Answer 1

分析：在直角三角形ABC中，根据已知的AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后根据∠BAC=90°，可得∠BAD+∠CAD=90°，再根据垂直的定义得到∠ADB=∠CDA=90°，利用三角形的内角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根据同角的余角相等得到∠B=∠CAD，利用两对对应角相等两三角形相似得到△ABD∽△CAD，再根据相似三角形的面积比等于相似比（对应边的之比）的平方即可求出结果．

解答：解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，
根据勾股定理得：AC=6，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD，又∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

S△ABD

S△CAD

=(

AB

CA

)2=(

8

6

)2=

16

9

．
故答案为：

16

9

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似的方法有：（1）两对角对应相等两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似；（3）三边对应成比例两三角形相似．另外学生还应熟练掌握，相似比即为对应边之比，周长比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．此题要求学生注意角度之间的转化，转化的思想是数学中的一种重要的数学思想．