Question

3．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y=$\frac{5}{4}$x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）简单求两直线的交点，得点C的坐标；
（2）求得S与t之间的函数关系式；配方，即可求得二次函数的最大值，即可得出S的最大值；
（3）求出定点在正方形PQMN内部时，t的范围，即可得出点（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆盖时t的取值范围．要用到分类讨论．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴C（3，$\frac{15}{4}$）；

（2）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴y=0时，0=-$\frac{3}{4}$x+6，解得；x=8，
∴A点坐标为；（8，0），
根据题意，得AE=t，OE=8-t．
∴点Q的纵坐标为$\frac{5}{4}$（8-t），点P的纵坐标为-$\frac{3}{4}$（8-t）+6=$\frac{3}{4}$t，
∴PQ=$\frac{5}{4}$（8-t）-$\frac{3}{4}$t=10-2t．
当MN在AD上时，10-2t=t，
∴t=$\frac{10}{3}$．
当0＜t≤$\frac{10}{3}$时，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，S有最大值为$\frac{25}{2}$．
当$\frac{10}{3}$＜t＜5时，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100=4（t-5）²，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=$\frac{10}{3}$时，S_最大值=$\frac{100}{9}$，
∵$\frac{25}{2}$＞$\frac{100}{9}$，
∴S的最大值为$\frac{25}{2}$；

（3）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8-t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞$\frac{17}{4}$，
点（4，$\frac{17}{4}$）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4，$\frac{17}{4}$）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为$\frac{17}{4}$时，OE=$\frac{17}{5}$，
∴8-t=$\frac{17}{5}$，解得：t=$\frac{23}{5}$，
此时OE+PN=$\frac{17}{5}$+PQ=$\frac{17}{5}$+（10-2t）=$\frac{22}{5}$＞4满足条件，
∴4＜t＜$\frac{23}{5}$，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t-8，0），PQ=2t-10要满足点（4，$\frac{17}{4}$）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4⇒4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此时Q点的纵坐标为：-$\frac{3}{4}$×2+6=$\frac{9}{2}$＞$\frac{17}{4}$．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4≤t≤$\frac{23}{5}$或t≥6时，点（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆盖．

点评 此题是一次函数综合题目，考查了一次函数的综合应用，考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．