Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，直径AF平分∠BAC，交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，延长BA到点E，连接ED、EC，ED交AC于点G，且ED=EC，求证：∠EGC=∠ECA+2∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BC是⊙O的直径时，取DC的中点M，连接AM并延长交圆于点N，且EG=5，连接CN并求CN的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接BF、CF，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ABF=∠ACF=90°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF，

∴∠AFB=∠AFC，

∴ ，

∴AB=AC

（2）证明：如图2，∵ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠EGC=∠ACB+∠EDC，

∴∠EGC=∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠ACB+∠ECA=∠ECA+2∠ACB

（3）证明：如图3，连接EM，交AC于H，连接OH，

∵ED=EC，M是DC的中点，

∴EM⊥DC，

∴∠BME=90°，

∵BC为⊙O 的直径，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=45°，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴∠BEM=45°，

∴△EAH是等腰直角三角形，

∴AE=AH，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO⊥BC，AO=OB=OC= BC，

∵∠AOC=∠HMC=90°，

∴MH∥AO，

∵M是OC的中点，

∴H是AC的中点，

∴AH=CH=OH，OH⊥AC，

∴AE=OH，

∵∠EAH=∠AHO=90°，

∴AE∥OH，

∴四边形AOHE是平行四边形，

∴AG=GH，EG=OG=5，

设AG=x，则GH=x，OH=2x，

在Rt△OGH中，52=x2+（2x）2，

x= ，

∴AG=GH= ，OH=HC=2 ，AC=4 ，

∴AO= = =2 ，

∴OC=2 ，

∴MC= OC= ，

在Rt△AOM中，AM= = =5 ，

∵∠N=∠B=45°，

∴∠N=∠ACB=45°，

∵∠NAC=∠MAC，

∴△AMC∽△ACN，

∴ ，

∴ ，

∴CN=4．

【解析】（1）连接BF、CF，根据角平分线和直径所对的圆周角是直角得：∠AFB=∠AFC，则所对的弧相等，弦相等；（2）根据等腰三角形的性质：等边对等角得：∠EDC=∠ECD，再由外角定理得：∠EGC=∠ACB+∠EDC，等量代换可得结论；（3）作辅助线，构建高线和中位线，①证明四边形AOHE是平行四边形，得AG=GH，EG=OG=5，②设AG=x，则GH=x，OH=2x，分别计算AG，OH，AC，AO，AM的长；③证明△AMC∽△ACN，列比例式可求得CN的长．