Question

观察下面各式：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²；…
（1）写出第2006个式子；
（2）写出第n个式子，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）第2006个式子即当n=2006时，有2006²+（2006×2007）²+2007²=（2006×2007+1）²；
（2）第n个式子为n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²，
证明如下：
因为n²+[n（n+1）]²+（n+1）2
=n²+n²（n+1）²+（n²+2n+1）
=n²+n⁴+2n³+n²+n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
且[n（n+1）+1]²=[n（n+1）]²+2[n（n+1）]·1+1²
=n²（n+1）²+2n（n+1）+1
=n²（n²+2n+1）+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+n²+2n²+2n+1
=n⁴+2n³+3n²+2n+1，
所以n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=[n（n+1）+1]²。