Question

如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，使B、C在X轴正半轴上，若AB=AC．且A点坐标为（3，2），B点坐标为（1，0）．
（1）求边AC所在直线的解析式；
（2）若坐标平面内存在三角形与△ABC全等且有一条公共边，请写出这些三角形未知顶点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据AB=AC求出C点的坐标，再将A、C两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出边AC所在直线的解析式；
（2）已知A，B，C的坐标易知△ABC为等腰直角三角形，所求的三角形与△ABC全等且有一条公共边，分别考虑AB，AC，BC为公共边三种情况．

解答：解：（1）设C点的坐标为（x，0）．
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又∵A点坐标为（3，2），B点坐标为（1，0），
∴

1+x

2

=3，
∴x=5，即C点的坐标为（5，0）．
设边AC所在直线的解析式为y=kx+b，则

3k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=-1 b=5

．
故边AC所在直线的解析式y=-x+5；

（2）∵A点坐标为（3，2），B点坐标为（1，0），C点的坐标为（5，0），
∴AB=AC=2

2

，BC=4，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC为等腰直角三角形．
如图所示，符合要求的点有：
C₁（-1，2），C₂（1，4），C₃（5，4），C₄（7，2），C₅（3，-2）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的性质及勾股定理的逆定理，综合性较强，难度中等．注意（2）中应分几种情况讨论，讨论时要做到不重不漏．