Question

1．如图，已知⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标是（1，-1），半径为$\sqrt{5}$．
（1）比较线段AB与CD的大小；
（2）求A、B、C、D四点的坐标；
（3）过点D作⊙O′的切线，试求这条切线的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点O′作O′F⊥DC，O′G⊥AB，根据点O′的坐标可知OF=OG，从而可知AB=CD；
（2）由垂径定理和勾股定理求得AG、BG、AF、DF的长度，然后由点O′的坐标可求得A、B、C、D四点的坐标；
（3）过点O′作O′F⊥CD，垂足为F，连接O′D．然后证明△O′FD∽△DOE，从而可求得点E的坐标，最后利用待定系数法求得DE的解析式即可．

解答 解：（1）如图1所示，过点O′作O′F⊥DC，O′G⊥AB

∵O′F⊥DC，O′G⊥AB，且点O′的坐标为（1，-1），
∴O′G=O′F=1．
∴AB=DC．
（2）如图2所示，过点O′作O′F⊥DC，O′G⊥AB，连接O′B，

∵O′G⊥AB，
∴AG=BG．
在Rt△O′BG中，GB=$\sqrt{O′{B}^{2}-O′{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{1}}$=2．
同理：FA=DF=2．
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（-3，0）．
（3）过点O′作O′F⊥CD，垂足为F，连接O′D．

∵ED是圆O′的切线，
∴O′D⊥DE．
∴∠O′DF+∠ODE=90°．
∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠CED=∠FDO′．
又∵∠EOD=∠O′FD=90°，
∴△O′FD∽△DOE．
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{O′F}{FD}$，即$\frac{3}{OE}=\frac{1}{2}$．
解得：OE=6．
∴点E的坐标为（-6，0）．
设DE的解析式为y=kx+b．
将x=-6，y=0；x=0，y=-3代入得解析式得；$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=$-\frac{1}{2}$，b=-3．
∴直线DE的解析式为y=$-\frac{1}{2}x-3$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用、相似三角形的性质和判定、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，掌握有关圆的问题中常见辅助线的做法是解题的关键．