Question

9．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点A′，使DA′=5，折痕为PQ，
（1）延长PQ交AB的延长线于G，求BG的长；
（2）求△A′CM的面积．

Answer 1

分析 （1）设PA=PA′=x，在Rt△DPA′中，由PD²+A′D²=PA′²，可得5²+（12-x）²=x²，推出x=$\frac{169}{24}$，在Rt△ADA′中，AA′=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，推出AE=EA′=$\frac{13}{2}$，PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{65}{24}$，根据tan∠APE=$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AG}{AP}$，可得$\frac{\frac{13}{2}}{\frac{65}{24}}$=$\frac{AG}{\frac{169}{24}}$，推出AG=$\frac{169}{10}$，由此即可解决问题．
（2）由△DA′P∽△CMA′，推出$\frac{PD}{CA′}$=$\frac{DA′}{CM}$，可得$\frac{\frac{119}{24}}{7}$=$\frac{5}{CM′}$，推出CM=$\frac{120}{17}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）设PA=PA′=x，在Rt△DPA′中，∵PD²+A′D²=PA′²，
∴5²+（12-x）²=x²，
∴x=$\frac{169}{24}$，
在Rt△ADA′中，AA′=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴AE=EA′=$\frac{13}{2}$，PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{65}{24}$，
∴tan∠APE=$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AG}{AP}$，
∴$\frac{\frac{13}{2}}{\frac{65}{24}}$=$\frac{AG}{\frac{169}{24}}$，
∴AG=$\frac{169}{10}$，
∴BG=AG-AB=$\frac{49}{10}$．

（2）∵∠DA′P+∠CA′M=90°，∠CA′M+∠CMA′=90°，
∴∠DA′P=∠A′MC，∵∠D=∠C=90°，
∴△DA′P∽△CMA′，
∴$\frac{PD}{CA′}$=$\frac{DA′}{CM}$，
∴$\frac{\frac{119}{24}}{7}$=$\frac{5}{CM′}$，
∴CM=$\frac{120}{17}$，
∴S_△A′CM=$\frac{1}{2}$•CA′•CM=$\frac{1}{2}$×7×$\frac{120}{17}$=$\frac{420}{17}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．