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    17．如图1，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，连接BE，过E作ME⊥EB交DC于点M．
    （1）求证：BE=ME．
    小明给出的思路为：过E作AD的平分线，分别交AB、DC于F、H，请完善小明的证明过程．
    （2）若正方形ABCD的边长为4，当DM=3时，求AE的长度？
    （3）探索，如图2，在直角坐标系中，点P坐标（6，3），点Q坐标（4，0），在直角坐标系中找一点G，使得△PQG为等腰直角三角形，且∠PGQ=90°，直接写出点G的坐标．

    分析 （1）由ASA证明△BEF≌△EMH，即可得出BE=ME．
    （2）连接DE，左侧DE=ME，由等腰三角形的性质得出DH=MH=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{3}{2}$，证出△AFH是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出答案；
    （3）分两种情况，由等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的性质即可得出答案．

    解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，∠ACD=∠BAC=45°，AD∥BC，
    ∵FH∥AD，
    ∴∠BFE=∠BAD=90°，∠EHM=∠ADC=90°，
    ∴△CEH是等腰直角三角形，四边形BCHF是矩形，
    ∴EH=CH，CH=BF，
    ∴EH=BF，
    ∵NE⊥EB，
    ∴由角的互余关系得：∠EBF=∠MEH，
    在△BEF和△EMH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠EHM=90°}&{\;}\\{BF=EH}&{\;}\\{∠EBF=∠MEH}&{\;}\end{array}\right.$，
    ∴△BEF≌△EMH（ASA），
    ∴BE=ME．

    （2）解：连接DE，如图1所示：
    由（1）得：BE=ME，四边形ADHF是矩形，
    ∴∠AFH=90°，AF=DH，
    由正方形的对称性得：DE=BE，
    ∴DE=ME，
    ∵EH⊥DM，
    ∴DH=MH=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{3}{2}$，
    ∴AF=$\frac{3}{2}$，
    ∵∠BAC=45°，∠AFH=90°，
    ∴△AFH是等腰直角三角形，
    ∴AE=$\sqrt{2}$AF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；

    （3）解：点G的坐标为（$\frac{13}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$）；理由如下：
    ①当点G在点P的右侧时，
    过G作GA⊥x轴于A，过P作PB∥x轴，PB交GA于B，作PC⊥x轴于C，如图2所示：
    ∵P（6，3），Q（4，0），
    ∴OQ=4，OC=6，PC=3，
    ∴CQ=6-4=2，
    ∴PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
    ∵△PQG为等腰直角三角形，∠PGQ=90°，
    ∴GQ=GP=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
    由角的互余关系得：∠AQG=∠BGP，
    在△AQG和△BGP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAQ=∠PBG=90°}&{\;}\\{∠AQG=∠BGP}&{\;}\\{GQ=PG}&{\;}\end{array}\right.$，
    ∴△AQG≌△BGP（AAS），
    ∴AG=BP，AQ=BG，
    设AG=BP=x，AQ=BG=y，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍去），
    ∴AG=$\frac{1}{2}$，AQ=$\frac{5}{2}$，
    ∴OA=OQ+AQ=4+$\frac{5}{2}$=$\frac{13}{2}$，
    ∴G（$\frac{13}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
    ②当G在点P的左侧时，同理得：G（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
    综上所述，点G的坐标为（$\frac{13}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

    点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解方程组等知识；本题综合性强，有一定难度．

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