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如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.

(1)求证:∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是⊙O的切线.
(1)见解析;(2);(3)见解析.

试题分析:(1)根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD,再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论.
(2)判断△BED∽△CBA,利用对应边成比例的性质可求出DE的长度.
(3)连接OB,OD,证明△ABO≌△DBO,推出OB∥DE,继而判断OB⊥DE,可得出结论.
试题解析:(1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA(圆周角定理),
∴∠BCA=∠BAD.
(2)∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理),∠BED=∠CBA=90°,
∴△BED∽△CBA,∴.
∵BD="BA" =12,BC=5,∴根据勾股定理得:AC=13.
∴,解得:.
(3)证明:连接OB,OD,

在△ABO和△DBO中,∵,
∴△ABO≌△DBO(SSS).
∴∠DBO=∠ABO.
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC.∴OB∥ED.
∵BE⊥ED,∴EB⊥BO.∴OB⊥BE.
∵OB是⊙O的半径,∴BE是⊙O的切线.
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