Question

【题目】阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

Answer 1

【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。理由如下：

∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°。

∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°。

∴∠ADE=∠BEC。

∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC。

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点。

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM。∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。

由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD。

∴∠BCE=∠BCD=30°。∴BE=CE=AB。

在Rt△BCE中，，

∴，∴。

【解析】

试题（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解。

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可。

（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解。