Question

5．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠EDC=∠ADB．求：
（1）CE的长．
（2）△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由在矩形ABCD中，∠EDC=∠ADB，易证得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）首先求得△CDE的面积，然后证得△ADF∽△CEF，即可得：EF：DE=1：5，由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，BC=8cm，
∴AD∥BC，CD=AB=4cm，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠EDC=∠ADB，
∴∠EDC=∠CBD，
∵∠ECD=∠DCB，
∴△CDE∽△CBD，
∴CE：CD=CD：CB，
∴CE：4=4：8，
解得：CE=2cm；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴DF：EF=AD：CE=8：2=4：1，
∴EF：DE=1：5，
∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$CE•CD=4cm²，
∴S_△CEF=$\frac{1}{5}$S_△CDE=$\frac{4}{5}$cm²．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得△CDE∽△CBD与△ADF∽△CEF是关键．