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(本题12分)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

证明:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m

∴∠BDA=∠CEA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD

又AB=AC

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD,AD=CE

∴DE=AE+AD= BD+CE

(2)∵∠BDA =∠BAC=

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE

∵∠BDA=∠AEC=,AB=AC

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD,AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

(3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF∴△DBF≌△EAF(SAS,

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60,

∴△DEF为等边三角形.

【解析】

试题分析:(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的

余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是

DE=AE+AD=BD+CE;(2)与(1)的证明方法一样;(3)与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,

∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠

DBF=∠FAE,利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠

AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.

考点:全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质

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