已知锐角△ABC中.边BC长为12.高AD长为8．(1)如图.矩形EFGH的边GH在BC边上.其余两个顶点E.F分别在AB.AC边上.EF交AD于点K．①求$\frac{EF}{AK}$的值,②设EH=x.矩形EFGH的面积为S.求S与x的函数关系式.并求S的最大值,(2)若AB=AC.正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上.另两个顶点分别在△ABC的另两边上.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求$\frac{EF}{AK}$的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

分析（1）①根据EF∥BC，可得$\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，所以$\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}$，据此求出$\frac{EF}{AK}$的值是多少即可．
②首先根据EH=x，求出AK=8-x，再根据$\frac{EF}{AK}$=$\frac{3}{2}$，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．
（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．

解答解：（1）①∵EF∥BC，
∴$\frac{AK}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}$=$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{EF}{AK}$的值是$\frac{3}{2}$．

②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8-x，
∵$\frac{EF}{AK}$=$\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}（8-x）$，
∴S=EH•EF=$\frac{3}{2}$x（8-x）=-${\frac{3}{2}（x-4）}^{2}$+24，
∴当x=4时，S的最大值是24．

（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
$\frac{8-a}{a}=\frac{8}{12}$，
解得a=$\frac{24}{5}$．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}=10$，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=$\frac{48}{5}$
∴$\frac{\frac{48}{5}-a}{a}=\frac{\frac{48}{5}}{10}$，
解得a=$\frac{240}{49}$．
综上，可得
正方形PQMN的边长是$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$．

点评（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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