Question

【题目】已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，那个说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣4x﹣12=0得x1=﹣2，x2=6，

即A（﹣2，0），B（6，0）

（2）

解：将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，

得到 ，

解得 ，

即y=﹣ x2+2x+6，

由于y=﹣ x2+2x+6= （x﹣2）2+8，

即抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）

（3）

解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

设直线AC′解析式为y=kx+n，

则 ，

解得 ，

∴y=x+2，

当x=2时，y=4，

即P（2，4）．

【解析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0，求出点A和点B的横坐标，进而得到答案；（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可，进而求出顶点坐标；（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，求出C′坐标，求出直线AC′解析式，进而求出点P的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的概念和二次函数的图象是解答本题的根本，需要知道一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．