Question

如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC= 5 ．

（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；

（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S_△ABD=S_△ABC；

（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．

附：阅读材料

一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．

解：令y²=x（x≥0），则原方程变为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．

当x₁=1时，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．

当x²=3，即y²=3，∴y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；

（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（3）首先求得△ABC的面积，根据S_△ABD= S_△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．

（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA•OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．

【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，

∴OA=OB=AB=×2=1，

∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．

在直角△OAC中，，

则C的坐标是：（0，2）；

（2）设抛物线的解析式是：y=ax²+b，

根据题意得： ，解得：  ，

则抛物线的解析式是：；

（3）∵S_△ABC=AB•OC=×2×2=2，

∴S_△ABD=S_△ABC=1．

设D的纵坐标是m，则AB•|m|=1，

则m=±1．

当m=1时，-2x²+2=1，解得：x=±，

当m=-1时，，-2x²+2=-1，解得：x=± ，

则D的坐标是：（，1）或（- ，1）或（，-1），或（- ，-1）．

（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．

平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）²+b．

令x=0，解得y=-2c²+2．即OC′= -2c²+2．

当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA′•OB′，

则（-2c²+2）²=（1-c）（1+c），

即（4c²-3）（c²-1）=0，

解得：c= ，（舍去），1，（舍去）．

故平移 或1个单位长度．

【点评】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确理解：当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA•OB，是解题的关键．