Question

19．正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S_△PKO=4S_△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．

Answer 1

分析 （1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；
②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；
（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．

解答 解：
（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，
∴OA²＞AD²，OD²＞AD²，
∴OA²+OD²＞2AD²≠AD²，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，
∴ON不可能过D点，
故答案为：不可能；
②∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，
∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON=90°，
∴∠EOF=90°-∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，
∴∠EOF=∠BAO，
在△OFE和△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOF=∠BAO}\\{∠EFO=∠B}\\{OE=AO}\end{array}\right.$
∴△OFE≌△ABO（AAS），
∴EF=OB，OF=AB，
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，
∴CF=EF，
∴四边形EFCH为正方形；
（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，
∴△PKO∽△OBG，
∵S_△PKO=4S_△OBG，
∴$\frac{{S}_{△PKO}}{{S}_{△OBG}}$=（$\frac{OP}{OG}$）²=4，
∴OP=2，
∴S_△POG=$\frac{1}{2}$OG•OP=$\frac{1}{2}$×1×2=1，

设OB=a，BG=b，则a²+b²=OG²=1，
∴b=$\sqrt{1-{a}^{2}}$，
∴S_△OBG=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$a$\sqrt{1-{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-{a}^{4}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-（{a}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴当a²=$\frac{1}{2}$时，△OBG有最大值$\frac{1}{4}$，此时S_△PKO=4S_△OBG=1，
∴四边形PKBG的最大面积为1+1+$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反证法的应用，在（1）②中证得CE=EF是解题的关键，在（2）中确定出△OBG面积的最大值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．