Question

【题目】在等边△ABC中，D是△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，连接BE交AC于F，BE＝BC，BD平分∠EBC，连接DE，CE，AD∥CE．

（1）求证：∠DAC＝∠DBE；

（2）若AB＝6，求△BEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△BEC的面积＝9．

【解析】

(1)连接CD，先证△BDC≌△ADC，可得∠DAC＝∠DBC，又因为BD平分∠EBC，可得∠DBC＝∠DBE，即可证得∠DAC＝∠DBE；

（2）先证△BDE≌△BDC；又因为△ADC≌△BDC，可得∠BED＝30°，再证∠BHC＝90°，从而证得∠ACE＝∠DBC＝15°，可证∠CFB＝90°，在求面积即可.

（1）连接CD，延长BD交EC于点H，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∵AC＝BC，CD＝CD，AD＝BD，

∴△ADC≌△BDC（SSS）

∴∠DAC＝∠DBC，

∵BD平分∠EBC，

∴∠DBC＝∠DBE，

∴DAC＝∠DBE；

（2）∵BE＝BC，∠DBC＝∠DBE，BD＝BD，

∴△BDE≌△BDC（SAS）

∴∠BED＝∠BCD，

∵△ADC≌△BDC

∴∠BCD＝∠ACD＝30°，

∴∠BED＝30°，

∵AD∥CE，

∴∠DAC＝∠ACE＝∠DBC＝∠DBE，

∵BE＝BC，∠DBC＝∠DBE，

∴∠BHC＝90°，

∴∠DBC+∠ACB+∠ACE＝90°，

∴∠ACE＝∠DBC＝15°，

∴∠EBC＝30°，

∴∠CFB＝90°，

∴CF＝BC＝3，

∴△BEC的面积＝×BE×CF＝9．