分析 (1)根据“巧妙点”的定义利用:点P在三角形的内部时,点P到△ABC的三个顶点的距离相等,所以点P是三角形的外心;点P在三角形的外部时,每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可;
(2)先证明△ADB≌△ABC,△ACE≌△ABC,得到相等的角,再证明∠BMD=∠ABD,得到DB=DM.最后证明△DAM∽△DEA,得到$\frac{DM}{DA}$=$\frac{DA}{DE}$,即DA2=DM•DE,由DM=DB,所以DA2=DB•DE.
(3)在△ABC中,AB=AC,若存在一点P,使PB=BA,PA=PC.点P能为△ABC的巧妙点,分别画出图形即可解答.
解答 解:(1)如图①;
(2)∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
在△ADB和△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{AB=AB}\\{DB=CB}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△ABC,
同理:△ACE≌△ABC.
∴∠BAD=∠BAC=∠CAE=36°,∠ADB=∠ABD=∠ABC=72°,
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=108°,
∵AD=AB=AC=AE,
∴∠ADE=∠AED=36°=∠BAD,
∴∠BDM=∠BDA-∠MDA=36°,
∠BMD=∠ADM+∠DAM=72°=∠ABD,
∴DB=DM.
∵∠DBM=∠ABD,∠AED=∠BAD,
∴△DAM∽△DEA,
∴$\frac{DM}{DA}$=$\frac{DA}{DE}$,
∴DA2=DM•DE,
∵DM=DB,
∴DA2=DB•DE.
(3)
第一种如图①或图②(只需画一个即可),∠BAC=60°.
第二种如图③,∠BAC=36°;
第三种如图④,∠BAC=108°;
第四种如图⑤,∠BAC=120°.
以上共四种:60°、36°、108°、120°.
点评 本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质,解决本题的关键是理解巧妙点的定义.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | -$\frac{2}{5}$ |
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A. | x≥-1 | B. | x≠2 | C. | x≥-1且x≠2 | D. | 以上都不正确 |
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A. | (-1,1) | B. | (-2,-1) | C. | (-3,1) | D. | (1,-2) |
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