Question

6．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD平行．
（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？
①BD平分AN，成立；
②BD⊥AP，成立（填写“成立”或“不成立”）；
（2）证明（1）中你的判断．
（3）若∠ABC=60°，AB=BM=$\sqrt{3}$+1，请直接写出CE的长度．

Answer 1

分析 （1）根据题意、结合图形进行猜测；
（2）连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；
（3）根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）①BD平分AN，成立；
②BD⊥AP，成立，
故答案为：①成立；②成立；
（2）连接AC、PC、CN，
∵EP=EC，
∴∠ECP=∠EPC，
∴∠ECP=$\frac{180°-∠PEC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠PEC，
同理，∠DCA=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵PN∥AD，
∴∠PEC=∠ADC，
∴∠ECP=∠DCA，
∴A、P、C三点共线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵CE=PE=EN，
∴∠PCN=90°，
∴CN∥BD，又AH=HC，
∴AM=MN，即BD平分AN；
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴BH=AB×cos30°=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴HM=BM-BH=$\sqrt{3}$+1-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∵AH=HC，AM=MN，
∴CN=2HM=$\sqrt{3}$-1，
∴PN=$\frac{CN}{cos30°}$=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是菱形的性质、锐角三角函数的定义的应用，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角、锐角三角函数的定义是解题的关键．