Question

10、如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是CD上一动点，连接PA交BD于点E，过点E作EF⊥AP交BC于点F，过点F作FG⊥BD于点G，下列有四个结论：①AE=EF，②∠PAF=45°③BD=2EG，④△PCF的周长为定值，其中正确的结论是（　　）

A、①②③

B、②③④

C、①②④

D、①②③④

Answer 1

分析：（1）作辅助线，延长FE交AD于点L，连接CE，通过证明△ADE≌△CDE，可得：AE=CE，故需证明EC=EF，可证：AE=EF；
（2）由EF⊥AP，AE=EF，可得：∠FAP=45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2EG，只需证OA=GE即可，根据△AOE≌△EGP，可证OA=GE，故可证BD=2EG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥FL，则IL=FC，可证AL=FE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．

解答：解：（1）连接FP，EC，延长FF交AD于点L．

∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDE=45°．
∵AD=CD，DE=DE，
∴△ADE≌CDE．
∴EC=AE，∠PCE=∠DAE．
∵∠ALF+∠LAE=90°，
∴∠LFC+∠DAE=90°．
∵∠PCE=∠DAE，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC．
∴EF=AE．

（2）∵EF⊥AP，EF=AE，
∴∠FAP=45°．

（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AEO+∠GEF=∠GFE+∠GEF，
∴∠AEO=∠GFE．
∵AE=FE，∠AOE=∠EGF=90°，
∴△AOE≌△EGF．
∴OA=GE．
∵BD=2OA，
∴BD=2EG．

（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=FC，
根据△MPC≌△MIC，可得：CP=IM，
同理，可得：AL=FP，
∴FP+FC+PC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CPM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．

点评：解答本题要充分里利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．