Question

2．如图，点A（0，a ），点B（ b，0 ）且满足a²+2b²-2ab-2b+1=0．经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC⊥CP，与直线BP相交于点P，BP⊥OB．现将直线l绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但P点必须在第一象限内，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）求点A、B的坐标；
（2）探索线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论；
（3）过C作CD⊥OB于点D，试判断CD与OB+PB间的数量关系，并说明理由；
（4）设点P的坐标为（b，c），请直接写出当△PBC为等腰三角形时c=1．

Answer 1

分析 （1）根据a²+2b²-2ab-2b+1=0，运用非负数的性质，即可得出a=b=1，进而得到点A、B的坐标；
（2）先过点C作x轴的平行线，分别交OA、BP于点T、H．根据△CHB为等腰直角三角形，以及四边形OBHT为矩形，得到OT=CH，进而根据AAS，判定△OTC≌△CHP，从而得出OC=CP；
（3）先根据四边形CDBH是矩形，得到CD=BH，再根据△BCD是等腰直角三角形，得出CD=BD，然后根据四边形CDOT是矩形，△OTC≌△CHP，即可得到OD=HP，最后得出OB+PB=OD+DB+BP=HP+BP+DB=BH+BD=2CD；
（4）根据P点必须在第一象限内，可得只有当∠BCP=∠CBP=45°时，△BCP为等腰直角三角形，据此得到点C与点A重合，此时BP=CP=1，故当△PBC为等腰三角形时，c=1．

解答 解：（1）∵a²+2b²-2ab-2b+1=0，
∴（a-b）²+（b-1）²=0，
∴a=b=1，
∴A（0，1 ），B（ 1，0 ）；

（2）OC=CP．
证明：如图，过点C作x轴的平行线，分别交OA、BP于点T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，
又∵∠CHB=90°，
∴△CHB为等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四边形OBHT为矩形，
∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x轴，TH∥OB，
∴∠CTO=∠PHC=90°，
在△OTC和△CHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠TCO=∠CPH}\\{∠CTO=∠PHC}\\{OT=CH}\end{array}\right.$，
∴△OTC≌△CHP（AAS），
∴OC=CP；

（3）2CD=OB+PB，理由：
过C作CD⊥OB于点D，则∠CDB=∠DBH=∠BHC=90°，
∴四边形CDBH是矩形，
∴CD=BH，
又∵∠ABO=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD，
∵∠CDO=∠TOD=∠OTC=90°，
∴四边形CDOT是矩形，
∴OD=TC，
由（2）可得，△OTC≌△CHP，
∴TC=HP，
∴OD=HP，
∴OB+PB=OD+DB+BP=HP+BP+DB=BH+BD=2CD；

（4）当点C与点A重合时，CP⊥AO，
此时，∠PCB=45°，BP=CP=1，即P（1，1）；
当点C为AB 中点时，点P与点B重合，
此时，CP与CB重合，即P（1，0），
∵P点必须在第一象限内，
∴0°＜∠BCP≤45°，
∵∠CBH=45°，
∴只有当∠BCP=∠CBP=45°时，△BCP为等腰直角三角形，
∴当△PBC为等腰三角形时，c=1．
故答案为：1．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，根据全等三角形的对应边相等以及矩形的对边相等进行推导．