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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH为正方形;
(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.
分析:(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.
(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.
解答:(1)证明:在△ABC中,
∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF=
1
2
AC

同理FG=
1
2
BD
,GH=
1
2
AC
,HE=
1
2
BD

在梯形ABCD中,
∵AB=DC,
∴AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH为菱形.      
设AC与EH交于点M
在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH∥BD,同理GH∥AC
又∵AC⊥BD,
∴∠BOC=90°.
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴四边形EFGH为正方形.  

(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,
∵E、G分别是AB、DC的中点,
∴EG=
1
2
(AD+BC)=
1
2
(1+3)=2,
在Rt△HEG中,
EG2=EH2+HG2
4=2EH2
EH2=2,
则EH=
2

即四边形EFGH的边长为
2
点评:此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.
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A、
8
6
3
B、4
6
C、
8
2
3
D、4
2

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3
对.

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2
10

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