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如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥轴于点C,A,B.动点P从O点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点移动的时间为秒,△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.

1.求经过O、A、B三点的抛物线解析式;

2.求S与t的函数关系式;

3.将△OPQ绕着点逆时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点为O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

 

 

1. 法一:由图象可知:抛物线经过原点,

设抛物线解析式为

把A(1,-1),B(3,-1)代入上式得:

 解得:

∴所求抛物线解析式为

法二:∵A(1,-1),B(3,-1),

∴抛物线的对称轴是直线

设抛物线解析式为

把O,A(1,-1)代入得

   解得

∴所求抛物线解析式为

2.分四种情况:

①当,重叠部分的面积是,过点轴于点

∵A(1,-1),在中,

中,,                              

,       ∴

②当,设于点,作轴于点

,则四边形是等腰梯形,

重叠部分的面积是

③当,设交于点,交于点

重叠部分的面积是

因为都是等腰直角三角形,

所以重叠部分的面积是

∵B(3,-1),

       

4当时,重叠部分的面积就是梯形OABC的面积= 

3.存在     ,

解析:本题是二次函数的一道综合题,(1)(2)求点的坐标和函数解析式,是常见题型,(3)需要综合考虑,有一定难度。

 

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C、A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(精英家教网0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂精英家教网直于直线OA,垂足为Q,设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

6、如图所示,已知在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E为BC上的点,且EA=ED,∠AEB=75°,∠DEC=45°,试说明AB=BC.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角三角形纸片ABC中,BC=3,∠BAC=30°,在AC上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为(  )

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