Question

已知，如图，等边三角形ABC边长为2，以BC为对称轴将△ABC翻折，得到四边形ABDC，将此四边形放在直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，点D在直线上．
（1）根据上述条件画出图形，并求出A、B、D、C的坐标；
（2）若直线与y轴交于点P，抛物线y=ax²+bx+c，过A、B、P三点，求这条抛物线的函数关系式；
（3）求出抛物线的顶点坐标，并指出这个点在△ABC的什么特殊位置．

Answer 1

解：（1）依题意，四边形ABDC为菱形，
∵AB=2，∠CAB=60°，
∴C、D两点纵坐标均为；
设，
∵点D在直线上，
∴，
∴；
如图，

（2），抛物线过A、B、P三点，
∴
解得；
∴．

（3）=，
∴顶点；
这个点在△ABC的内心位置．
（答外心、重心、垂心均可）
分析：（1）已知了正三角形的边长为2，即可求得D、C的纵坐标为，将其代入直线中，即可求得点D的坐标，易知四边形ABDC是菱形，根据菱形的边长为2，以及点D的坐标，即可确定出其他三点的坐标．
（2）根据直线的解析式，易求得点P的坐标，而A、B的坐标在（1）题已经求得，即可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（3）可用配方法将（2）题所得函数解析式化为顶点坐标式，进而可求出其顶点坐标，再根据坐标来判断它在△ABC中的特殊位置．
点评：此题主要考查了图形的旋转变换、等边三角形的性质、二次函数界限的确定等知识．正确的求出点D的坐标是解决此题的关键，难度适中．