Question

如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

Answer 1

（1）线段AC是⊙O的切线。理由见解析（2）12

解：（1）线段AC是⊙O的切线。理由如下：
∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代换）。
又∵OA=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠OAB（等边对等角）。
∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。
∴线段AC是⊙O的切线。
（2）设AC=x．
∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角对等边）。
∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切线，
∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，OC²=AC²+OA²，即（1+x）²=x²+5²，解得x=12。
∴AC=12．
（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。所以线段AC是⊙O的切线。
（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度。