Question

4．如图，二次函数y=-x²-（2m+2）x-m²-4m+3（m为非负整数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=-1上找一点P，使△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且在第二象限内，设点Q的横坐标为t，问t为何值时，四边形AQCB的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴有两个交点，可得出（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，求得m的取值范围，再根据m是非负整数，求出m的值，从而得出二次函数的解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得C′点，根据待定系数法，可得BC′的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）把四边形AQCB的面积分成两个三角形和一个直角梯形，根据三角形和梯形的面积公式，可得二次函数，根据函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）由题意得，（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，
解得：m＜2，
∵m是非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，二次函数的解析式为y=-x²+2x+3，
当m=1时，二次函数的解析式为y=-x²+4x-2，
∵图象与x轴交于点A和点B，点A、B分别在原点的左、右两边，
∴当m=1时，二次函数的解析式为y=-x²+4x-2不符合题意，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图，

作C点关于x=-1的对称点C′连接BC′交对称轴于P点，
PB+PC=PC+PA=AC．
由C（0，3）得C′点坐标为（-2，3）．
当y=0时，-x²-2x+3=0．
解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
设BC′的解析式为y=kx+b，图象过点（-2，3），（1，0），得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴BC′的解析式为y=-3x+3，
当x=-1时，y=-3×（-1）+3=6，
P点坐标为（-1，2）时，△PBC的周长最小；
（3）如图，

设Q点坐标为（t，-t²-2t+3）（-3＜t＜0），作QM⊥x轴于点M，由图可知：
S_{四边形AQCB}=S_△AQM+S+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（t+3）（-t²-2t+3）+$\frac{1}{2}$（-t²-2t+3+3）（-t）+$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t+3
=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$
因此t=-$\frac{3}{2}$时，四边形AQCB的面积最大，这个最大面积是$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，考查抛物线与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系，利用对称性求最短距离，以及利用面积的计算方法建立二次函数求最值问题．