分析 （1）由直线AB的解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）由P点坐标表示出E点的纵坐标，代入直线AB解析式，可求得E点横坐标，则可用t表示出PE的长，可得到m关于t的函数关系式；
（3）过E作EG⊥x轴于点G，则可用t表示出GH和EG，由三角形外角的性质和已知条件可证得∠EHG=∠FOH，可证明△FOH∽△EHG，根据相似三角形的性质可求得t的值，则可求得tan∠EHG，结合∠BEH=∠FOH-45°，则可求得tan∠BEH的值．
解答 解：（1）在直线y=-x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3，
∴A（0，3），B（3，0），
∵抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，
∴把A、B两点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（t，-t2+2t+3），
∵PE∥x轴，
∴E点纵坐标为-t2+2t+3，
∵E点在直线AB上，
∴把E点纵坐标代入直线AB解析式可得-t2+2t+3=-x+3，解得x=t2-2t，
∴E点横坐标为t2-2t，
∴PE=m=t-（t2-2t）=-t2+3t，
∴m与t的关系式为m=-t2+3t；
（3）如图，过E作EG⊥x轴于点G，
∵OA=OB=3，
∴∠EBO=45°，
∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°，
∵∠FOH-∠BEH=45°，
∴∠FOH=∠BEH+45°，
∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°，
∴△FOH∽△EGH，
∴$\frac{FH}{EG}$=$\frac{OH}{GH}$，
∵OH=t，F在直线AB上，
∴FH=-t+3，
由（2）可知EG=-t2+2t+3，GH=m=-t2+3t，
∴$\frac{-t+3}{-{t}^{2}+2t+3}$=$\frac{t}{-{t}^{2}+3t}$，解得t=1，
∴OH=1，FH=2，
∴tan∠FOH=$\frac{FH}{OH}$=2，
∵∠FOH-∠BEH=45°，
∴∠BEH=∠FOH-45°，
∴tan∠BEH=tan（∠FOH-45°）=$\frac{tan∠FOH-tan45°}{1+tan∠FOH•tan45°}$=$\frac{2-1}{1+2×1}$=$\frac{1}{3}$，
综上可知存在满足条件的t的值，t的值为1，tan∠BEH的值为$\frac{1}{3}$．
点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中表示出E点的横坐标是解题的关键，在（3）中利用∠FOH-∠BEH=45°，得到∠FOH=∠EHG是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．
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是二次函数
的图象上两点，则
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