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如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是半圆的切线.
(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F,求证:FD=FG.
(3)在(2)的条件下,若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.
(1)证明:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠CAB+∠ABC=90°.(1分)
∵∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠CAB=90°.
即MA⊥AB.
∴MN是半圆的切线.(2分)

(2)证明:
证法1:∵D是弧AC的中点,
∴∠DBC=∠2.(3分)
∵AB是直径,
∴∠CBG+∠CGB=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠FDG+∠2=90°.(4分)
∵∠DBC=∠2,
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD.
∴FD=FG.(5分)
证法2:连接AD,则∠1=∠2,(3分)
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠1+∠DGF=90°.
又∵DE⊥AB,
∴∠2+∠FDG=90°.(4分)
∴∠FDG=∠FGD.
∴FD=FG.(5分)

(3)解法1:过点F作FH⊥DG于H,(6分)
又∵DF=FG,
∴S△FGH=
1
2
S△DFG=
1
2
×4.5=
9
4
.(7分)
∵AB是直径,FH⊥DG,
∴∠C=∠FHG=90°.(8分)
∵∠HGF=∠CGB,
∴△FGH△BGC.
S△FGH
S△BGC
=(
HG
CG
)
2
=(
1.5
4
)
2
=
9
64
.(9分)
∴S△BCG=
9
4
×
64
9
=16.(10分)

解法2:∵∠ADB=90°,DE⊥AB,
∴∠3=∠2.(6分)
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴AF=DF=FG.(7分)
∴S△ADG=9.(8分)
∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB.
∴△ADG△BCG.(9分)
S△BCG
S△ADG
=(
CG
DG
)
2
=(
4
3
)
2
=
16
9

∴S△BCG=
16
9
×9=16
.(10分)

解法3:连接AD,过点F作FH⊥DG于H.
∵SFDG=
1
2
DG×FH=
1
2
×3FH=4.5,
∴FH=3.
∵H是DG的中点,FHAD,
∴AD=2FH=6
∴S△ADG=
1
2
AD•DG=
1
2
×6×3=9

∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB.
∴△ADG△BCG.
∵DG=3,GC=4,
S△ADG
S△BCG
=(
DG
CG
2
9
S△BCG
=(
3
4
2
∴S△BCG=16.
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(初三)如图,△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,过点I作BC的平行线分别交AB、AC于E、F,若O是△DEF外接圆的圆心.
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(初二)如图,四边形ABCD中,∠ADC=60°,∠ABC=30°,DA=DC,求证,BD2=AB2+BC2

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(2)若⊙O的半径OA=5,弦AC的长是6.
①求DE的长;
②请直接写出
DF
AF
的值.

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(2)若∠ACB=120°,OA=2.求CD的长.

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A.15cmB.10cmC.7.5cmD.5cm

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如图所示,⊙O的半径OD为5cm,直线l⊥OD,垂足为O,则直线l沿射线OD方向平移______cm时与⊙O相切.

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如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点C,∠PCB=35°,则∠B等于______度.

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