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【题目】如图,已知直线lAC:y=﹣x轴、y轴分别为A、C两点,直线BCACx轴于点B.

(1)求点B的坐标及直线BC的解析式;

(2)将△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,过点O′作直线O′E垂直x轴于点E,Fy轴上一点,P是直线O′E上任意一点,P、Q两点关于x轴对称,当|PA﹣PC|最大时,请求出QF+FC的最小值;

(3)M是直线O′E上一点,且QM=3,在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)B(6,0);y=x﹣2;(2)5;(3)(6,3)或(0,)或(0,7(6,9).

【解析】

(1)利用待定系数法求出A、C两点坐标,再根据两直线垂直k的乘积为-1,求出直线BC的解析式即可解决问题;

(2)首先证明∠ACO=30°,如图,作QH⊥ACH,交y轴于F.则FH=CF,根据垂线段最短可知,QF+FC的最小值为线段HQ的长;

(3)求出点M坐标分两种情形分别讨论求解即可.

解:(1)由题意A(﹣2,0),C(0,﹣2),

∵直线lAC:y=﹣,BCAC,

∴直线BC的解析式为y=x﹣2

y=0,解得x=6,

B(6,0).

(2)∵△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,

∴可得O′(3,﹣3),

|PA﹣PC|最大时,点P在直线AC上,此时P(3,﹣5),

P、Q关于x轴对称,

Q(3,5),

RtAOC中,∵tanACO==

∴∠ACO=30°,

如图,作QHACH,交y轴于F.

FH=CF,

根据垂线段最短可知,QF+FC的最小值为线段HQ的长,

RtPQH中,∵∠HPQ=ACO=30°,PQ=10

HQ=PQ=5

QF+FC的最小值为5

(3)由(2)可知:F(0,4),

QM=3

M(3,2)或(3,8),

M(3,2)时,如图,以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形,可得满足条件的点N坐标为(6,3)或(0,)或(0,7,

M为(3,8)时,同法可得满足条件的点N坐标为(6,9)或(0,7)或(0,).

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