【题目】如图,已知直线lAC:y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点,直线BC⊥AC交x轴于点B.
(1)求点B的坐标及直线BC的解析式;
(2)将△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,过点O′作直线O′E垂直x轴于点E,F是y轴上一点,P是直线O′E上任意一点,P、Q两点关于x轴对称,当|PA﹣PC|最大时,请求出QF+FC的最小值;
(3)若M是直线O′E上一点,且QM=3,在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)B(6,0);y=x﹣2;(2)5;(3)(6,3)或(0,)或(0,7)或(6,9).
【解析】
(1)利用待定系数法求出A、C两点坐标,再根据两直线垂直k的乘积为-1,求出直线BC的解析式即可解决问题;
(2)首先证明∠ACO=30°,如图,作QH⊥AC于H,交y轴于F.则FH=CF,根据垂线段最短可知,QF+FC的最小值为线段HQ的长;
(3)求出点M坐标分两种情形分别讨论求解即可.
解:(1)由题意A(﹣2,0),C(0,﹣2),
∵直线lAC:y=﹣,BC⊥AC,
∴直线BC的解析式为y=x﹣2,
令y=0,解得x=6,
∴B(6,0).
(2)∵△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,
∴可得O′(3,﹣3),
当|PA﹣PC|最大时,点P在直线AC上,此时P(3,﹣5),
∵P、Q关于x轴对称,
∴Q(3,5),
在Rt△AOC中,∵tan∠ACO==,
∴∠ACO=30°,
如图,作QH⊥AC于H,交y轴于F.
则FH=CF,
根据垂线段最短可知,QF+FC的最小值为线段HQ的长,
在Rt△PQH中,∵∠HPQ=∠ACO=30°,PQ=10,
∴HQ=PQ=5,
∴QF+FC的最小值为5.
(3)由(2)可知:F(0,4),
∵QM=3,
∴M(3,2)或(3,8),
当M(3,2)时,如图,以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形,可得满足条件的点N坐标为(6,3)或(0,)或(0,7),
当M为(3,8)时,同法可得满足条件的点N坐标为(6,9)或(0,7)或(0,).
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【题目】如图,直线y=x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此做法进行下去,点An的坐标为__.
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B,再将△A0B沿直钱CD折叠,使点A与点B重合.折痕CD与x轴交于点C,与AB交于点D.
(1)点A的坐标为 ;点B的坐标为 ;
(2)求OC的长度,并求出此时直线BC的表达式;
(3)直线BC上是否存在一点M,使得△ABM的面积与△ABO的面积相等?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,BD=4,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1 , 未被盖住部分的面积为S2 , BP=x.
(1)用含x的代数式分别表示S1 , S2;
(2)若S1=S2 , 求x的值.
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【题目】如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少?
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【题目】如图,直线l1⊥x轴于点A(2,0),点B是直线l1上的动点.直线l2:y=x+1交l1于点C,过点B作直线l3垂直于l2 , 垂足为D,过点O,B的直线l4交l2于点E,当直线l1 , l2 , l3能围成三角形时,设该三角形面积为S1 , 当直线l2 , l3 , l4能围成三角形时,设该三角形面积为S2 .
(1)若点B在线段AC上,且S1=S2 , 则B点坐标为;
(2)若点B在直线l1上,且S2= S1 , 则∠BOA的度数为 .
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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
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【题目】矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E、F,点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形,则PQ的长为 .
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